B-スプライン曲線

幾何学的性質

TrueTypeフォントの輪郭は2次のB-スプライン曲線で表現されます。

今、3点P1、P2、P3が与えられ、P1を開始点として、P2を曲線の制御点とし、P3を終点と仮定します。

P1とP2、およびP2とP3を直線で結びます。

2つの直線を、2つに等分し、その中点をP4、P5とします。

P4とP5を直線で結びます。

P4からP5へ引いた直線を2つに等分し、その中点をP6とします。

この時、2次のB-スプライン曲線は、点P6を通ります。

さらに、同様にして、P1からP4へ向かう直線を2つに等分し、P4からP6へ向かう直線も2つに等分し、その中点をそれぞれP7、P8とします。

P7からP8へ引いた直線を2つに等分し、その中点をP9とします。2次のB-スプライン曲線は、点P9を通ります。

TrueTypeフォントの仕様書用語では、点P1やP3は「オンカーブ点」と呼ばれ、点P2は「オフカーブ点」と呼ばれます。

 

前の例では、オフカーブ点が1ヶでしたが、オフカーブ点が2ヶ連続する場合について説明します。

今、P1を開始点として、P2、P3をオフカーブ点とし、P4を終点と仮定します。

前と同様に、P1とP2、P2とP3、P3とP4を直線で結びます。

P2からP3へ引いた直線を2つに等分し、その中点をP5とします。2次のB-スプライン曲線は、点P5を通ります。

ちなみに、TTEditで円を描くと、

のようになりますが、厳密には円ではなくB-スプライン曲線で近似された円です。

上記の性質により、

のようにオンカーブ点を省いても円になります。(開始点はオンカーブ点でなければならないので、少なくでも1つはオンカーブ点が含まれます。)

数学的表現

数式で2次B-スプライン曲線を表現すると、

のようになります。

ここで、x1,y1はオンカーブ点、x2,y2はオフカーブ点、x3,y3はオンカーブ点です。

tは0から1までの値をとります。t=0の時、x=x1、y=y1になり、t=1の時、x=x3、y=y3になります。

仮に

x1=100、y1=100

x2=200、y2=500

x3=400、y3=200

として、tを0.1ずつ大きくして計算してみます。

t=0.1の時

 x=(1-0.1)×(1-0.1)×100+2×0.1×(1-0.1)×200+0.1×0.1×400=121

 y=(1-0.1)×(1-0.1)×100+2×0.1×(1-0.1)×500+0.1×0.1×200=173

t=0.2の時

 x=(1-0.2)×(1-0.2)×100+2×0.2×(1-0.2)×200+0.2×0.2×400=144

 y=(1-0.2)×(1-0.2)×100+2×0.2×(1-0.2)×500+0.2×0.2×200=232

このようにして計算した結果を下の表にしめします。

t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
y 100 173 232 277 308 325 328 317 292 253 200

tの増加量を0.1ではなく、0.01などにして計算し、xとyの関係をグラフに示すと、

のようになります。

これが、2次B-スプライン曲線です。

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